最近，我向美国数学学院申请了一项奖学金，该计划致力于通过招募，培训和保留高素质的中学数学老师来改善美国公立学校的数学教育。为了获得团契，我开始摆弄一些使我感到好奇的数学思想。其中之一是分解多项式的想法，尤其是我们如何讲授它。

有一个原因，由于种种原因，我不是FOIL的粉丝。虽然我认为使用缩写词可以使学生想起某个程序很方便，但它仅在非常特殊的情况下有效。在这种情况下，FOIL仅适用于将一个二项式乘以另一个二项式。FOIL是否会引导学生去理解所有类型多项式的乘法，或者理解为什么分布属性即使在变量下也能起作用?我不确定。

我们确实 知道，还有其他方法可以处理 二项式乘法，但是我想重点介绍使用几何乘法的方法，因为我可以。

使用面积的乘和分解

(x + 2)与(x + 3)的乘积可以表示为如下形式(参见图1)：

这使以下操作看起来相当简单：

(x + 2)(x + 3)

x 2 + 2 x + 3 x + 6

x 2 + 5 x + 6

使用面积法乘以二项式也使分解成为一项容易的任务。我们可以对这个形状的正方形和矩形进行可视化处理，同时思考自己：“哪个数字的总和为5(第二项)，乘积为6(第三项)?” 如果我们仔细看，学生还有另一种方法来理解为什么在乘以所示的二项式后我们得到我们所用的术语。这与三项式有何关系?让我们来看看。

多维数据集的乘法和因式分解

让我们来看最后一个示例，然后将其乘以(x + 4)。这样(参见图2)：

(x + 2)(x + 3)(x + 4)

(x2 + 5x + 6)(x + 4)

x3 + 9x2 + 26x + 24

或几何形状(请参见图2)：这对于找到该图的表面积和体积都具有惊人的含义。由于我们早先已经找到了这个立方体的“面”(x 2 + 5 x + 6)，因此我们基本上是将该面乘以x 的长度和4的长度。这得出：

x(x 2 + 5 x + 6)+ 4(x 2 + 5 x + 6)

。。。

x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24

分解立方体

一旦找到四项式，则立方体将提示我们找到创建四项式的长度。一个人只需要找出哪三个数字得出的总和为9(第二项)和乘积24(最后一项)。这些数字分别是2、3和4，因此我们将得到(x + 2)(x + 3)(x + 4)。

这比使用三次公式好吗?绝对是这样，特别是对于我们的学生。

什么样2 quadrinomial X 3 - 11 X 2 + 12 X + 9?我们可以尝试确定该多项式的所有实根，或者可以查看第二项和最后一项。9乘积的最简单组合是将3、3和1相乘。第一项的系数2使-11棘手。如果不考虑第一个系数，我们就无法从一组数字中得到-11。

但是，正如我们在其他多维数据集中看到的那样(请参见图3)：

我们将看到2 x项 将与不相关的任何长度相乘。因此，(2 x -3)+(2 x -3)将给我们6 x + 6 x或12 x。由于我们需要得到-11 x，这意味着剩余的1 x是正数，而12 x实际上是-12 x。

因此，我们的四项式被分解为(x -3)(x -3)(2 x +1)或(x -3)2(2 x +1)。

注意的话

在其他情况下( 例如x 3 + 27)，我仍在探索这一点，以及使用此模型时虚数将是什么样子。这些方法可以很好地吸引学生，但是某些特殊情况可能会需要比我在这里借用的空间更多的空间。

同样，这是我对立方公式的反叛 ，正如许多数学家所知道的那样，将立方公式引入课堂几乎没有任何意义。