想象一下一个数学问题，它可能会适当地挑战所有学生，使您能够清楚地区分他们的理解和所遇到的困难，并为强有力的学生讨论提供背景。为了探究外观，让我们比较一下减去三位数的三个问题。花几分钟解决这些问题，然后继续阅读。

问题一：解决。

812 – 357 =

问题二：每次最多使用1到9位数字，在每个下划线上放置一个数字，使两个三位数字组成一个真实的数字句子。解决问题两次;您可以重用第二句话中第一句话中的数字。(我建议不允许学生在此类问题中使用0，以防止他们使用前导0，例如091 =91。)

_ _ _ – 291 = _ _ _

问题三：每次最多使用1到9位数字，在每个下划线上放置一个数字，以使差值尽可能接近329。

_ _ _ – _ _ _ = _ _ _ _

问题一是一个相当典型的减去三位数的问题。如果学生把这个问题弄错了，我们知道那不好。但是，如果她做对了，是否可以确保她深刻理解这个概念?我们所有的学生似乎都了解一个概念，后来才发现他们隐藏了误解。因此，当学生掌握了这一权利时，可能并不能保证您有深刻的理解。

问题二并不容易。我提出了这个问题，但仍然花了我四次才找到一个数字句子。随机选择数字是一种低效的策略，因此学生被迫运用概念理解来思考哪些数字将是更好的选择。我敢打赌，您可以想象那些不会遇到问题一但会遇到问题二的学生。

问题三确实具有挑战性。即使使用计算器，也可能需要多次尝试才能解决该问题。同样，如果学生随机选择数字并减去数字，那么要花很长时间才能找出答案。最终，这个问题迫使学生超越了人类的计算器，并建立了概念上的理解。

例如，我希望学生认识到左侧的数字必须大于329​​，否则差将比329更接近于0。但是这还不够。例如，如果学生以987开头，那么接下来是什么?她会随机猜测右边数字的数字吗?也许她开始思考，“嗯。我猜右边的数字需要比左边的数字少300左右?” 即使使用这种级别的概念理解也将真正有帮助。或者，学生可能将问题三视为一个附加问题，并认为：“哪三位数加329等于我的其他三位数?” 对于学生如何使用它，有很多选择。

学生从这类问题中学到什么

您可能想知道学生如何处理这三个问题，所以让我分享从数百名从事这些工作的三年级学生那里收集的数据。您会惊讶地发现，学生在“问题一”中获得最大的成功，有62%的学生正确地解决了问题，而更少的学生正确地解决了“问题二”和“问题三”，分别为36%和29%。

这表明仅使用问题一之类的问题可能会给我们带来假阳性结果，这可能会错误地使我们认为学生理解了我们教给他们的东西。我希望我在职业生涯的早些时候就知道了这一点，当时我与学生一起使用了无数的问题，例如“问题一”。我逐渐意识到，当我们提出表面问题时，我们会获得有关学生所学知识的表面信息。

诸如“ 2”和“ 3”之类的问题被称为“开放式中级问题”，这是我从数学教育家Dan Meyer中学到的一个术语，因为学生可以使用多种策略来解决它们。大多数数学问题都始于每个人都在解决相同的问题，然后以他们得出相同的答案结束—开始和结束都是封闭的。不同的是中间。有时，问题的指示会告诉学生使用特定的方法(中间闭合)完成问题。在其他时候，有很多可能的方法可以解决该问题(中间开口)。中间开阔的问题往往更有趣。

这些问题在您可能会让学生反复练习类似问题(例如课堂作业或家庭作业)的任何地方都有效。就像您可能想象的那样，一个单一的中级开放问题通常需要在整个工作表中进行类似的重复练习，但是要有更好的对话和更深刻的理解。