最近有很多关于快速跟踪系统的讨论，基于能力分类，以及促进更高概念学习的早期和早期开始时间。但一些研究也表明，低估学生意味着他们可能不会受到挑战。

我们都在某种程度上低估了学生：当他们努力掌握许多概念时，很难相信一些学生。然而，我通过经验发现，如果老师足够勇敢为他们设置，那么学生可以达到很高的标准。

我在一所小型的，个性化的私立学校任教，这种学校提供了一些摆脱快速跟踪狂热的机会，数学文化允许自由的节奏和课程。没有人必须指明他们对学生的期望 - 而是我自己想出来并且有能力在我看来合适时挑战他们。但我知道许多读者发现自己处于更有限的教学环境中。

给予中学生高中数学

我为初中课程创建的一门课程是初级代数课程。该班级包括八年级学生和两名七年级学生，甚至六年级学生。它涵盖了典型学生在高中时所看到的大部分内容：解决理性表达; 重视正方形; 绘制线性函数，复函数和多项式; 组合数学; 几何证明; 和多步方程，在课程中列出几点。

我没有告诉学生这些材料是高中水平。我发现的是，他们自然地相互勾结了想法，并将他们之前在课程中学到的东西联系起来，建立了一个对每个人都感到舒服的知识库 - 这种参与至关重要。

很多时候，我提出了一个想法并提出了极其困难的问题，但没有深入指导。相反，我预计学生自己或与合作伙伴一起工作的例子和问题将邀请他们将想法与他们自己心中有意义的事物联系起来。

例如，关于指数属性的一个中学课程涉及提供一个属性，X A X B = X A + B，并且让学生使用它来仅使用他们之前证明的那些有条理地推导出每个后续指数属性。在一个这样的情况下，六年级学生注意到，根据逆定义(六年级学生!)，执行X A / X B与乘以X A X -B相同。然后，她问我们是否可以使用指数的第一个属性来增加正A功率和负B功率。

起初，我很惊讶在如此短的时间内将物业相互联系的速度很快(这只是一个小时的课程)。然后我意识到我从来没有把这些材料称为学生期望达到的范围之外，所以对他们来说这些概念正是典型的中学生应该看到的 - 他们不知道这是高中材料，他们不太容易轻易放弃。我一直想知道我是否过早地教授这些材料，但学生们接受了挑战。

另一个例子：我的学生大部分理性表达的工作归结为学生可以简化它们的程度，表现出对这个过程越来越熟悉，以便在未来的道路上这是第二天性，可以在不延迟的情况下教授更先进的材料。 “小事” - 事实上，整整一周都致力于实践这个想法。

以(X-1)/ X为基本示例。我提出的问题是，这是否仍然可以进一步简化。起初，一个共同的(和不正确的)响应是变量可以取消，留下-1。我的回答只是要求这个假设成功的例子(不接受或否认他们以前的结果)。学生们已经知道一些例子不足以证明一个猜想，只有一个例子不起作用的情况应该足以反驳(我们接近讨论反例的概念)。

突然间，七年级学生意识到减法和除法不是相反的操作，所以他们不能像解决方程时那样取消。这是一个奇妙的启示，每个人都同意。

鼓励坚持不懈

这些经验不是关于高年级水平的解决方案，而是更多关于探索推理的概念，约翰霍尔特经常在他的作品中强调，特别是他的书“儿童如何失败”，我不能为各级数学教师提供足够的建议。经验。

我想起了一位教育家曾经告诉过我的故事。一位老师用两个学习同一材料的课程进行了实验。在一个方面，她赞扬学生的职业道德导致成功。另一方面，她重视聪明。在单元结束时，被告知努力工作以成功的孩子不太可能放弃，他们从课堂上获得了更多。

我的学生不知道这些材料被认为超出了他们的能力。同样，我知道我们不可能都以这种方式教学，但课程中出现的材料可以用鼓励的方式构建。这完全取决于我们如何预测学生的能力以及不低估他们的能力。